Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения точки Теорема об изменении количества движения материальной системы

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравнение (2), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение (32) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил

Пусть движущаяся точка имеет в момент времени скорость а в момент - скорость Умножим тогда обе части равенства (32) на и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будут а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости

Так как интеграл от равен то в результате получим

Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (30), представляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будет

Уравнение (33) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (33) часто пользуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства (33) на координатные оси, получим

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси теорема выражается первым из этих уравнений.

Решение задач. Уравнения (33) или (34) позволяют, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить импульс действующих сил (первая задача динамики) или, зная импульсы действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их импульсы, Как видно из равенств (30) или (31), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от времени.

Таким образом, уравнения (33), (34) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, время движения точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины ), причем силы должны быть постоянными или зависящими только от времени.

Задача 95. Точка, масса которой кг, движется по окружности с численно постоянной скоростью Определить импульс действующей на точку силы за время, в течение которого точка проходит четверть окружности

Решение. По теореме об изменении количества движения Строя геометрически разность этих количеств движения (рис. 222), находим из полученного прямоугольного треугольника

Но по условиям задачи следовательно,

Для аналитического подсчета можно, используя первые два из уравнений (34), найти

Задача 96. Грузу, имеющему массу и лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость Последующее движение груза тормозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится,

Решение. По данным задачи видно, что для определения времени движения можно воспользоваться доказанной теоремой. Изображаем груз в произвольном положении (рис. 223). На него действуют сила тяжести Р, реакция плоскости N и тормозящая сила F. Направляя ось в сторону движения, составляем первое из уравнений (34)

В данном случае - скорость в момент остановки), а . Из сил проекцию на ось дает только сила F. Так как она постоянна, то где - время торможения. Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем откуда искомое время

Количество движения мерой механического движения, если механическое движение перейдет в механическое. Например, механическое движение бильярдного шара (рис. 22) до удара переходит в механическое движение шаров после удара. Для точки количество движения равно произведению .

Мерой действия силы в этом случае является импульс силы

. (9.1)

Импульс определяет действие силы за промежуток времени. Для материальной точки теорему об изменении количества движения можно использовать в дифференциальной форме
(9.2) или интегральной (конечной) форме
. (9.3)

Изменение количества движения материальной точки за какой-то промежуток времени равно импульсу всех сил, приложенных к точке за то же время.

Рисунок 22

При решении задач теорема (9.3) чаще используется в проекциях на координатные оси
;

; (9.4)

.

С помощью теоремы об изменении количества движения точки можно решать задачи, в которых на точку или тело, движущееся поступательно, действуют силы постоянные или переменное, зависящие от времени, а в число заданных и искомых величин входят время движения и скорости в начале и конце движения. Задачи с применением теоремы решаются следующей последовательности:

1. выбирают систему координат;

2. изображают все действующие на точку заданные (активные) силы и реакции;

3. записывают теорему об изменении количества движения точки в проекциях на выбранные оси координат;

4. определяют искомые величины.

ПРИМЕР 12.

Молот весом G=2т падает с высоты h=1м на заготовку за время t=0,01с и производит штамповку детали (рис. 23). Определить среднюю силу давления молота на заготовку.

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, Действующих за то же время. Иногда удобнее пользоваться теоремой об изменении количества движения в проекции на оси координат
; (9.8)
. (9.9)

Закон сохранения количества движения устанавливает, что при отсутствии внешних сил количество движения механической системы остается постоянным. Действие внутренних сил не может изменить количества движения системы. Из уравнения (9.6) видно, что при
,
.

Если
, то
или
.

Д

гребного винта или пропеллера, реактивного движения. Кальмары движутся рывками, выбрасывая воду из мускульного мешка по принципу водомета (рис. 25). Отталкиваемая вода обладает известным количеством движения, направленным назад. Кальмар получает при этом соответствующую скорость движения вперед за счет реактивной силы тяги, так как перед выпрыгиванием кальмара силауравновешивается силой тяжести.

Применение теоремы об изменении количества движения позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы.

ПРИМЕР 13.

На железнодорожной платформе, свободно стоящей на рельсах, установлена лебедка А с барабаном радиуса r (рис. 26). Лебедка предназначена для перемещения по платформе груза В массой m 1 . Масса платформы с лебедкой m 2 . Барабан лебедки вращается по закону
. В начальный момент времени система была подвижна. Пренебрегая трением, найти закон изменения скорости платформы после включения лебедки.

РЕШЕНИЕ.

1. Рассмотрим платформу, лебедку и груз как единую механическую систему, на которую действуют внешние силы: сила тяжести груза и платформыи реакциии
.

2. Так как все внешние силы перпендикулярны оси х, т.е.
, применим закон сохранения количества движения механической системы в проекции на ось х:
. В начальный момент времени система была неподвижна, следовательно,

Выразим количество движения системы в произвольный момент времени. Платформа движется поступательно со скоростью , груз совершает сложное движение, состоящее из относительного движения по платформе со скоростьюи переносного движения вместе с платформой со скоростью., откуда
. Платформа будет перемещаться в сторону, противоположную относительному движению груза.

ПРИМЕР 14.

где ,
-- количество движения пластины и груза соответственно.

;
, где--абсолютная скорость грузаD. Из равенства (1) следует, что К 1х +К 2х =С 1 или m 1 u x +m 2 V Dx =C 1 . (2) Для определения V Dx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к пластине относительным, а движение самой пластины переносным, тогда
, (3)
;или в проекции на ось х:. (4) Подставим (4) в (2):
. (5) Постоянную интегрирования С 1 определим из начальных условий: при t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 =C 1 . (6) Подставляя значение постоянной С 1 в уравнение (5), получаем

м/с.

Количество движения системы, как векторная величина, определяется формулами (4.12) и (4.13).

Теорема. Производная от количества движения системы по времени равна геометрической сумме всех действующих на нее внешних сил.

В проекциях декартовые оси получим скалярные уравнения.

Можно записать векторное

(4.28)

и скалярные уравнения

Которые выражают теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов за тот же промежуток времени. При решении задач чаще используются уравнения (4.27)

Закон сохранения количества движения

Теорема об изменении кинетического момента

Теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки относительно неподвижного центра равна векторному моменту, действующей на точку силы относительно того же центра.

или (4.30)

Сравнивая (4.23) и (4.30), видим, что моменты векторов и связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы и (рис. 4.1). Если спроектировать равенство на ось , проходящую через центр О, то получим

(4.31)

Это равенство выражает теорему момента количества движения точки относительно оси.

(4.32)

Если спроектировать выражение (4.32) на ось , проходящей через центр О, то получим равенство, характеризующее теорему об изменении кинетического момента относительно оси.

(4.33)

Подставляя (4.10) в равенство (4.33) можно записать дифференциальное уравнение вращающегося твердого тела (колес, осей, валов, роторов и т.д.) в трех формах.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Таким образом, теорему об изменении кинетического момента целесообразно использовать для исследования весьма распространенного в технике движения твердого тела, его вращения вокруг неподвижной оси.

Закон сохранения кинетического момента системы

1. Пусть в выражении (4.32) .

Тогда из уравнения (4.32) следует, что , т.е. если сумма моментов всех приложенных к системе вешних сил относительно данного центра равно нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра будет численно и по направлению будет постоянен.

2. Если , то . Таким образом, если сумма моментов действующих на систему внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собой закон сохранения кинетического момента.

В случае вращающегося твердого тела из равенства (4.34) следует, что, если , то . Отсюда приходим к следующим выводам:

Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то , следовательно, и и твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.

Если система изменяема, то . При увеличении (тогда отдельные элементы системы удаляются от оси вращения) угловая скорость уменьшается, т.к. , а при уменьшении увеличивается, таким образом, в случае изменяемой системы с помощью внутренних сил можно изменить угловую скорость.

Вторая задача Д2 контрольной работы посвящена теореме об изменении кинетического момента системы относительно оси.

Задача Д2

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2м) массой кг вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC = b (рис. Д2,0 – Д2,9, табл. Д2); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д2,0а (вид сверху).

В момент времени по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой кг по закону , где s выражено в метрах, t - в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом M (задан в ньютонометрах; при M < 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость т.е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость груза складывается из относительной и переносной скоростей, т.е. . Поэтому и количество движения этого груза . Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика), согласно которой ; эти моменты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения разъяснен в примере Д2.

При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца z), как это сделано на рис. Д2,0,а – Д2,9, а.

Момент инерции пластины с массой m относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс, равен: для прямоугольной пластины со сторонами и

;

Для круглой пластины радиуса R

Пример Д2 . Однородная горизонтальная платформа (прямоуголь­ная со сторонами 2l и l), имеющая массу жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угло­вой скоростью (рис. Д2а). В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противо­положно ; одновременно груз D массой , находящийся в желобе АВ в точке С, начинает двигаться по желобу (под действием внутрен­них сил) по закону s = CD = F(t).

Дано: m 1 = 16 кг, т 2 = 10 кг, l = 0,5 м, = 2 , s = 0,4t 2 (s - в метрах, t - в секундах), М = kt, где k =6 Нм/с. Опре­делить: - закон изменения угловой скорости платформы.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плат­формы и груза D. Для определения w применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

(1)

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести реакции и вращающий момент M. Так как силы и параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление (т. е. против хода часовой стрелки), получим и уравнение (1) примет такой вид.

Для материальной точки основной закон динамики можно представить в виде

Умножая обе части этого соотношения слева векторно на радиус-вектор (рис. 3.9), получаем

(3.32)

В правой части этой формулы имеем момент силы относительно точки О. Преобразуем левую часть, применив формулу производной векторного произведения

Но как векторное произведение параллельных векторов. После этого получаем

(3.33)

Первая производная по времени момента количества движения точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра.

Рисунок 3.12

; ;

При заданных входных данных кинетический момент системы

Теорема об изменении кинетического момента системы. К каждой точке системы приложим равнодействующие внешних и внутренних сил. Для каждой точке системы можно применить теорему об изменении момента количества движения, например в форме (3.33)

Суммируя по всем точкам системы и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим

По определению кинетического момента системы и свойству внешних и внутренних сил

поэтому полученное соотношение можно представить в виде

Первая производная по времени кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.

3.3.5. Работа силы

1) Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус вектора точки приложения силы (рис. 3.13)

Рисунок 3.13

Выражение (3.36) можно записать также в следующих эквивалентных формах

где - проекция силы на направление скорости точки приложения силы.

2) Работа силы на конечном перемещении

Интегрируя элементарную работу силы, получим следующие выражения для работы силы на конечном перемещении из точки А в точку В

3) Работа постоянной силы

Если сила постоянна, то из (3.38) следует

Работа постоянной силы не зависит от формы траектории, а зависит только от вектора перемещения точки приложения силы .

4) Работа силы веса

Для силы веса (рис. 3.14) и из (3.39) получим

Рисунок 3.14

Если движение происходит из точки В в точку А, то

В общем случае

Знак «+» соответствует движению точки приложения силы «вниз», знак «-» - вверх.

4) Работа силы упругости

Пусть ось пружины направлена по оси x (рис.3.15), а конец пружины перемещается из точки 1 в точку 2, тогда из (3.38) получим

Если жесткость пружины равна с , то , тогда

А (3.41)

Если конец пружины перемещается из точки 0 в точку 1, то в этом выражении заменяем , , тогда работа силы упругости примет вид

(3.42)

где - удлинение пружины.

Рисунок 3.15

5) Работа силы приложенной к вращающемуся телу. Работа момента.

На рис. 3.16 показано вращающееся тело, к которому приложена произвольная сила . При вращении точка приложения этой силы движется по окружности.

Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения (13) и сложим их почленно. Тогда получим

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим

Уравнение (20) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси будет:

Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент времени количество движения системы равно а в момент становится равным . Тогда, умножая обе части равенства (20) на и интегрируя, получим

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.

Уравнение (21) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будет:

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о движении центра масс. Так как , то, подставляя это значение в равенство (20) и учитывая, что получим , т. е. уравнение (16).

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (16) обычно пользоваться удобнее. Для непрерывной же среды (жидкость, газ) при решении задач обычно пользуются теоремой об изменении количества движения системы. Важные приложения эта теорема имеет также в теории удара (см. гл. XXXI) и при изучении реактивного движения (см. § 114).